標(biāo)題：微積分的基本思想及其在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

微積分的基本思想及其在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用
摘要：微積分是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，它的基本思想在數(shù)學(xué)及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。本文著重研究其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：微分；積分；基本思想；應(yīng)用
The Basic Ideas of Calculus and Its Applications in Economic Issues

Abstract：Infinitesimal calculus is one of the important basic knowledge of mathematical,its basic ideas are widely used in mathematics and Economics.This paper focuses on the research of its applications in Economics.
Key words：differential ; integral ; basic ideas; application


目錄
1微積分的產(chǎn)生及其發(fā)展............................................1

2微積分的基本思想................................................1

2.1微分學(xué)的基本思想..............................................1

2.2積分學(xué)的基本思想..............................................2
3微　……（快文網(wǎng)http://m.hoachina.com省略1189字，正式會(huì)員可完整閱讀）……　
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    • 說，能夠用線性函數(shù)或者多項(xiàng)式來任意近似表示的函數(shù)，那么在其圖形上任意選取微小的一段，我們都可以將此段曲線近似的看成一段直線。因此，在這樣的曲線上的每一點(diǎn)處，都一定存在著唯一的一條確定的直線也即該點(diǎn)處的“切線”，這條切線在該點(diǎn)附近相當(dāng)小的范圍內(nèi)，能夠與該曲線十分密合。這樣的近似方法，使我們?cè)谘芯繌?fù)雜函數(shù)時(shí)，可以從局部上對(duì)其進(jìn)行一定程度上的簡化。下面，我們通過以下這個(gè)例子來進(jìn)一步加深了解——物理學(xué)中物體的運(yùn)動(dòng)速度。
    取如下坐標(biāo)軸，假設(shè)路程函數(shù)。求的變化率也即物體的運(yùn)動(dòng)速度一般分為以下兩步
    圖（1）(1)“局部求近似”：雖然物體在時(shí)段上作的是非勻速運(yùn)動(dòng)，但是在任取的微小時(shí)段上，我們將其近似的看成勻速運(yùn)動(dòng)。然后利用處理勻速問題的方法即得到近似值。
    (2)“極限求精確”：當(dāng)時(shí)間間隔越來越小時(shí)，近似值的精確度便會(huì)越來越高，因此我們令，采用極限法便能將上面得到的近似值進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成為精確值，即得到：
    。

    2.2積分學(xué)的基本思想
    積分學(xué)主要研究的是關(guān)于一元函數(shù)的定積分與不定積分，其中在定積分中蘊(yùn)含的基本思想是通過有限來逼近無限。因此，極限方法就成為建立積分學(xué)理論的基本方法。現(xiàn)在我們來舉這樣一個(gè)例子——物理運(yùn)動(dòng)中物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程：
    假設(shè)已知速度函數(shù)為，則求物體運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)過的路程也是兩步驟：
    (1)“局部求近似”：已知只有在微小的局部內(nèi)，用均勻量近似的代替非均勻量才能成立。所以要處理這一非勻速變化的整體量，首先需要將時(shí)間區(qū)間劃分為若干個(gè)小時(shí)間區(qū)間；再在各個(gè)小時(shí)間區(qū)間內(nèi)以“均”代“不均”，具體的實(shí)現(xiàn)需分為以下兩步：
    ①“分割”：將區(qū)間劃分成任意的份，考察在微小區(qū)間上的小時(shí)間段；②“求近似”：在上將物體的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速運(yùn)動(dòng)，再利用處理相應(yīng)均勻量的方法即可得到：
    。
    (2)“極限求精確”：因?yàn)樗蟮氖且粋�(gè)整體量，所以先將所有局部上的近似值累加起來將其轉(zhuǎn)化為精確值，故實(shí)現(xiàn)精確的思想也分為以下兩步：
    ①“累加求和”：；②“求極限”：，其中可以看出，微分與積分雖然是屬于兩種不同范疇的概念，但是二者所研究的問題都是有關(guān)于“非均勻”變化量的。同時(shí)兩者解決問題所采取的基本方法也幾乎是一致的，均可以歸納為以下兩個(gè)步驟：a.微小局部求近似值；b.利用極限求精確。在整個(gè)微積分學(xué)體系中這一基本思想始終貫穿其中，并引領(lǐng)著我們運(yùn)用微積分的有關(guān)思想和知識(shí)來解決應(yīng)用領(lǐng)域的諸多問題。

    3.微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用
    在經(jīng)濟(jì)建設(shè)的快速發(fā)展中，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)之間相互促進(jìn)的作用越來越明顯，二者之間的相互聯(lián)系也越來越緊密。而微積分作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，與經(jīng)濟(jì)學(xué)更是有著緊密聯(lián)系。本文通過舉例說明微積分知識(shí)在經(jīng)濟(jì)問題中的一些簡單應(yīng)用，希望使人們認(rèn)識(shí)到微積分與經(jīng)濟(jì)學(xué)之間的重要聯(lián)系。

    3.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用
    邊際是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要概念之一，通常將用導(dǎo)數(shù)來研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際的方法稱之為邊際分析。其中對(duì)于給定的經(jīng)濟(jì)函數(shù)如何來求其變化率的問題則是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常見的邊際問題，也即是將一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱之為邊際函數(shù)，將其在某一點(diǎn)的值稱之為邊際值。而邊際分析法就是指對(duì)當(dāng)自變量變動(dòng)一個(gè)單位的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的因變量會(huì)變動(dòng)多少的分析方法。例如，總利潤函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)我們將其稱之為邊際利潤，它所蘊(yùn)涵的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)某商品銷售量為時(shí)，再多銷售一個(gè)單位該產(chǎn)品（即）時(shí)總利潤的改變量為[2]；邊際收益是指總收益函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)，其蘊(yùn)涵的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)某種商品的銷售量為時(shí)，再多銷售一個(gè)單位該商品（即）時(shí)總收益的變化量為[2]；邊際成本是指總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位該產(chǎn)品（即）時(shí)總成本的變化量為。[2]例1.已知某小型玩具廠每個(gè)月生產(chǎn)某種玩具所需的總成本（元）為產(chǎn)量（件）的函數(shù)；求當(dāng)生產(chǎn)100件該種玩具時(shí)的邊際成本，并闡明其中蘊(yùn)涵的經(jīng)濟(jì)意義。
    解：由題意可得，生產(chǎn)件該玩具時(shí)的邊際成本函數(shù)為
    由此可得，生產(chǎn)100件該種玩具時(shí)的邊際成本為（元）其中蘊(yùn)涵的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)生產(chǎn)100件該種玩具時(shí)，產(chǎn)量再額外增加一件（即）時(shí)成本增加9.5元。
    例2.某塑料廠生產(chǎn)的某種塑料，每天的總利潤（單位：元）與產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)關(guān)系為，試求每天生產(chǎn)10噸，20噸，25噸，35噸該種塑料時(shí)的邊際利潤，并說明其中蘊(yùn)涵的經(jīng)濟(jì)意義。
    解：由題目條件得，總利潤的變化率（邊際利潤）是，則每天生產(chǎn)10噸，20噸，25噸，35噸該種肥料時(shí)的邊際利潤分別是：




    蘊(yùn)涵的經(jīng)濟(jì)意義：表示當(dāng)每天生產(chǎn)10噸該種肥料時(shí)，產(chǎn)量再增加一噸的話，總利潤將增加150元；表示當(dāng)每天生產(chǎn)20噸該種肥料時(shí)，產(chǎn)量再增加一噸的話，總利潤將增加50元；表示當(dāng)每天生產(chǎn)25噸該種肥料時(shí)，產(chǎn)量再增加一噸的話，總利潤保持不變；表示當(dāng)每天生產(chǎn)35噸該種肥料時(shí)，產(chǎn)量再增加一噸的話，總利潤將減少150元。

    3.2彈性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用
    一般的，我們將函數(shù)在某一點(diǎn)處的相對(duì)變化率即稱之為在點(diǎn)處的彈性，即近似地來表示當(dāng)函數(shù)的自變量變化了1%時(shí)函數(shù)相應(yīng)變化的百分?jǐn)?shù)。而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中主要有需求彈性和收益彈性，下面分別舉例說明。
    ①需求彈性：商品的需求彈性是指商品需求量對(duì)商品價(jià)格的相對(duì)變化率，對(duì)于需求函數(shù)，當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，函數(shù)則單調(diào)遞減，因此異號(hào)，所以一般將需求對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)定義為。

    例3.已知某品牌護(hù)手霜的需求量與價(jià)格的關(guān)系為:；(1)求需求彈性；(2)如果在價(jià)格的基礎(chǔ)上價(jià)格增加1%，求該護(hù)手霜需求量的變化情況。
    解：(1)由需求對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)可知，需求彈性為：


    (2)當(dāng)該護(hù)手霜的價(jià)格=10（元）時(shí)，這說明在價(jià)格的基礎(chǔ)上，如果價(jià)格增加了1%，則該種護(hù)手霜的需求量將減少13.9%；反之，若其價(jià)格減少1% ……（未完，全文共6422字，當(dāng)前只顯示3092字，請(qǐng)閱讀下面提示信息。收藏微積分的基本思想及其在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用）

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