| 標題：關于矩陣特征值的討論 | ||
|
文章標題：關于矩陣特征值的討論 【摘要】 已知矩陣特征值,分析有關矩陣的問題;討論矩陣特征值在線性代數中的應用; 【關鍵詞】 矩陣對角化 特征值 特征向量 矩陣的特征值在高等代數中的應用非常廣泛,作用也相當重要.常見的矩陣運算可以直接求出結果,但是另外一些復雜的矩陣需要先變形化簡才可以方便的計算出結果.下面來討論有關特征值方面的題型. 一、利用特征值求方陣的高次冪 若求一個n階矩陣a的高次冪 ,直接計算的話是不容易計算出結果的.但是我們可以應用簡便方法來求矩陣的高次冪. 當這個n階矩陣a可以對角化時，再計算其高次冪 ,就會有簡單方法。 若存在可逆矩陣p使得 = . 即有 則 而 ，故 例1 已知 ，求 。 解: 我們可以求出 ，所以a的特征 ……（快文網http://m.hoachina.com省略612字，正式會員可完整閱讀）……
三、已知某矩陣的特征值求該矩陣 矩陣特征值可以應用于矩陣對角化中,它在其他方面也有廣泛的應用. 下 面來討論已知特征值,計算與矩陣有關的問題. 例5設三階實對稱矩陣a的特征值為 ，對應于 ，求a。 解: 根據我們所學習過的定理:如果（a為三階實對稱矩陣，故必可對角化）。 又因為 是a的二重特征值，故與特征值1對應的線性無關的特征向量有兩個，設為 ，并且 都和 是正交的。 設所求特征向量為 ，則 ，即 由 得 。 規(guī)范化，得 ， 。 作正交矩陣 。 則 ，有 ， 所以， = 四、利用矩陣特征值求另一矩陣的相似對角矩陣 例6 已知三階矩陣a的特征值為1，-1，2，設矩陣 ， 試求：矩陣d的特征值及其相似的對角矩陣。 解: 因為三階方陣a有三個相異的特征值1，-1，2，故存在可逆 矩陣p，使 ， 則 。 從而 ， 所以 于是d的特征值為-4，-6，-12， 故可得,與矩陣d相似的對角矩陣為 。 五、已知n階方陣a的特征值,求方陣a的主對角線元素之和及行列式|a|的值 例7 設n階方陣a= 的n個特征值為 ,試求: (1)方陣a主對角線上的元素之和 ; (2)行列式|a|的值. 分析: 因為 是a的n個特征值,即特征方程|a- e|=0的n個根為 ,故 ……(1) 另一方面,方陣a的特征多項式是 ……（2） 下面只要求出 與 即可. 1)、行列式|a- |是取自不同行和不同列的n個元素的乘積之代數和,其中必有一項是主對角線上的元素乘積 ,其余各項至少有一個元素 ( )不在主對角線上.含元素 的項的乘積中就不再含i行,j列的其余所有元素,亦即一定不含 與 .因此在這樣的項中至多包含n-2個主對角線上的元素,所以這些項中 的次數最多是n-2次,因此特征多項式 中含 的n次與n-1次的項只能在 的項中出現。 乘積 中 的系數是 即 ,比較式（1）,式（2）中 的系數, 得 , 故 . 2)、在式（2）中,令 得,特征多項式 常數項為 ,則有 =|a|. 比較式（1）,式（2）中的常數項系數, 故可得，|a|= . 參考文獻 [1]謝延波，王愛茹，楊中兵，線性代數同步測試（第1版）[m]，東北大學出版社2002.8 [2]劉光祖，劉迎洲，線性代數典型題解析及自測試題（第1版）[m]，西北工業(yè)大學出版社2002.8 [3]趙德修，孫清華，線性代數題解精選（第1版）[m]，華中科技大學出版社2001.5 [4]李啟文，謝 ……（未完，全文共2644字，當前只顯示1591字，請閱讀下面提示信息。收藏關于矩陣特征值的討論） 上一篇：在全縣行風監(jiān)督員座談會上的講話 下一篇：部隊班長述職報告 相關欄目： |